Ako vypočítať vzorec pre zmenu dĺžky (delta l)
V tomto článku sa zameriame na výpočet zmeny dĺžky, známej aj ako delta l (Δl), v rôznych kontextoch. Pochopenie tohto konceptu je kľúčové nielen vo fyzike, ale aj v inžinierstve a ďalších vedeckých odboroch.
Základné princípy
Účinnosť akéhokoľvek zariadenia pracujúceho s energiou sa označuje gréckym písmenom „eta“: η. Časť príkonu v každom zariadení spracúvajúcom energiu sa premieňa na straty. Účinnosť nám umožňuje odhadnúť silu týchto strát. Venujte tomuto parametru pozornosť, pretože čím vyššia je účinnosť, tým menej energie pripadá na straty. Vďaka tomu bude vnútri zdroja nižšia teplota, čo vedie k zvýšeniu spoľahlivosti a predĺženiu životnosti zariadenia.
Výkon je parametrom, ktorý určuje, koľko energie je zariadenie schopné dodať. Tento parameter sa uvádza vo wattoch (W) na počesť britského inžiniera a vynálezcu Jamesa Watta. Prijíma sa, že 1 W (watt) je výkon, ktorý odoberá zariadenie napájané napätím 1 V (volt) pri intenzite 1 A (ampér). S pomocou tohto vzorca môžeme vypočítať (pokiaľ poznáme napätie napájania a intenzitu prúdu), aký výkon bude odoberať daný prijímač a, čo s tým súvisí, vybrať vhodný zdroj. Rovnakým spôsobom možno určiť, akým výkonom disponuje daný zdroj. Stačí násobiť jeho maximálny výstupný prúd a výstupné napätie.
Príkladom takéhoto zariadenia je zdroj striedavého prúdu TR-60VA. Uvádzanie činného výkonu vo wattoch a jalového výkonu vo voltampéroch sa uplatňuje tiež v parametrizácii záložných zdrojov UPS. Niektorí výrobcovia zdrojov UPS v parametroch uvádzajú len hodnotu zdanlivého výkonu, teda tu vyjadrenú vo voltampéroch, pretože je výrazne väčšia než činný výkon. Je nutné mať na pamäti, že v žiadnom zdroji nemožno prekročiť ani hodnotu činného ani jalového výkonu, pretože v tomto prípade hrozí nezvratné poškodenie. Tiež sa je nutné postarať o správne pracovné podmienky zariadenia, aby sme nepripustili jeho prehriatie.
Výpočet rýchlosti na oběžné dráze
V kontexte kozmonautiky je výpočet rýchlosti na oběžné dráze zásadný. Najprv si osvetlíme pojem „veľká poloosa dráhy“. Je to základná informácia o oběžných dráhach, kde teleso, okolo ktorého družica krúži, leží v jednom z ohnísk elipsy. Veľkú poloosu dráhy vypočítame jednoducho tak, že spriemerujeme vzdialenosť apoapsidy a periapsidy - nie však od povrchu planéty, ale od jej stredu, teda ťažiska.
Existuje aj iná pomôcka, ako si veľkú poloosu zapamätať - ak spojíme periapsidu s apoapsidou, získame tzv. priamku apsíd. Túto rozdelíme uprostred a získame dve veľké poloosy.
Teraz, keď už vieme, čo je to veľká poloosa dráhy, môžeme sa pustiť k vzorcu, ktorý nám umožní vypočítať, akú rýchlosť má teleso v nejakom bode oběžnej dráhy. Než ale pristúpime k samotnému vzorcu, povieme si, čo všetko rozhoduje o tom, aká tá rýchlosť bude. Základným aspektom, ktorý všetko ovplyvňuje, je hmotnosť telesa, okolo ktorého družica obieha. Čím je teleso hmotnejšie, tým silnejšiu má gravitáciu. Vzorec, ktorý budeme používať, označuje hmotnosť písmenom M.
Ďalším dôležitým aspektom je vyššie spomínaná veľká poloosa dráhy, označovaná písmenom a. Aby sme zistili, akú rýchlosť má teleso v určitom bode, musíme poznať vzdialenosť tohto bodu od stredu telesa, okolo ktorého satelit obieha. Túto vzdialenosť nám udáva písmeno r. No a nesmieme zabudnúť ani na základnú silu, o ktorej tu už bola zmienka, teda gravitáciu. Pre ňu použijeme takzvanú (Newtonovu) gravitačnú konštantu, ktorá sa značí G a jej hodnota je 6,67×10-11 N.m2.kg-2.
Všimnite si, že vo vzorci nie je započítaná hmotnosť družice. Tá v tomto prípade nehrá rolu. Inými slovami - nepatrný úlomok kozmetického odpadu bude mať pri zachovaní rovnakých parametrov oběžnej dráhy rovnakú rýchlosť ako niekoľko sto ton ťažká ISS.
Ak túto hodnotu vynásobíme vyššie spomínanou gravitačnou konštantou G, dostaneme sa k tzv. gravitačnému parametru, ten sa označuje gréckym písmenom μ [mí] s hodnotou pre Zem takmer presne 4 x 1014. Znamená to teda, že μ = M x G.
Príklad výpočtu rýchlosti na kruhovej dráhe
Máme družicu na takmer presne kruhovej oběžnej dráhe vo výške 300 kilometrov nad Zemou. Keďže satelit obieha okolo Zeme, tak po vynásobení M a G dostaneme μ = 4 x 1014. Dráha je kruhová vo výške 300 km. Lenže do vzorca nemôžeme dosadiť 300 000 metrov. Musíme pripočítať ešte vzdialenosť od povrchu do stredu Zeme. Keďže naša planéta má polomer 6 378 km, tak naša hodnota r bude 6 678 000 metrov. Dráha je kruhová, takže teleso by bolo neustále rovnako ďaleko od stredu našej planéty. Teda by periapsida aj apoapsida ležali tiež v rovnakej vzdialenosti. Čo sa stane, keď spriemerujeme dve rovnaké čísla, je jasné - dostaneme opäť rovnaké číslo. Takže do vzorca namiesto a dosadíme tiež 6 678 000 metrov.
Tento obrázok navyše ukazuje, že ak družica obieha po kruhovej dráhe, tak sa obsah zátvorky veľmi zjednoduší vzájomným odčítaním. Ďalším zjednodušením by sme sa dostali až na veľmi jednoduchý vzorec V2 = μ / a. Ak teda vzorec vypočítame, vyjde nám, že V2 bude 59 898 173. Čísla sa nelekejte, pretože, ako ste si iste všimli, rýchlosť, teda V, je vo vzorci na druhú. Získaný výsledok teda musíme odmocniť. Potom nám už vychádza 7 739 m/s, čo je definitívny výsledok.
Príklad výpočtu rýchlosti pre ISS
Medzinárodná vesmírna stanica (ISS) obieha okolo Zeme po eliptickej oběžnej dráhe s apoapsidou vo výške 417 kilometrov a periapsidou vo výške 412 kilometrov. Veľká poloosa tejto dráhy sa vypočíta ľahko - spriemerujeme 417 a 412, čo robí 414,5 km. Ku všetkým vzdialenostiam nezabudneme pripočítať polomer Zeme, teda 6 378 km.
Po vydelení, odčítaní, vynásobení a následnom odmocnení, dôjdeme ku konečným výsledkom. Medzinárodná vesmírna stanica má v apoapside (výška 417 km nad Zemou) rýchlosť 7 671 metrov za sekundu a v periapside (výška 412 km nad Zemou) 7 676 metrov za sekundu. Rozdiel medzi rýchlosťami v apoapside a periapside je teda iba 5 m/s.
Orbitálna rýchlosť planét - fyzika na úrovni GCSE
Teraz už teda viete vypočítať rýchlosť telesa na oběžnej dráhe v ľubovoľnej fáze letu. Nemusíte samozrejme počítať iba rýchlosti v apsidách, ale aj kdekoľvek medzi nimi. Experimentujte s rôznymi hodnotami, tak vám vzorce lepšie prejdú do krvi.
Ďalšie výpočty a parametre
V kontexte finančných derivátov sa stretávame s pojmami ako sú úroková miera, volatilita a delty opcií. Úroková miera je jedno percento. Pre výpočet ceny európskej call opcie s expiráciou o pol roka, ktorej expiračná cena je 50 USD a volatilita je 0.3, je potrebný špecifický model (napríklad Black-Scholesov model).
Na nasledujúcom obrázku sú zobrazené delty troch call opcií v závislosti od ceny akcie. Ostatné parametre sú rovnaké pre rôzne doby expirácie: o 1 deň, o pol roka, o 2 roky. Na ďalšom obrázku sú zobrazené dve delty ako funkcie času zostávajúceho do expirácie.
Taktiež je možné vypočítať hodnotu stratégie, ktorá pozostáva z kúpy call opcie s nízkou expiračnou cenou a predaja call opcie s vyššou expiračnou cenou s tou istou dobou splatnosti. Výpočet ceny stratégie sa realizuje pre dané parametre.
Pri výpočte implikovanej volatility pre opcie na akcie IBM z cvičenia (1)/5, ak dnešná cena akcie je 20 USD, volatilita je 0.3 a úroková miera je pol percenta, je nutné použiť iteratívne metódy, pretože volatilita nie je priamo daná vo vzorci Black-Scholesa.
Pre call opciu s expiračnou cenou 15 USD, ak dnešná cena akcie je 9 USD, môžeme skúmať, pre ktoré z nasledujúcich cien opcie (2 USD, 5 USD, 7 USD, 10 USD, 15 USD) existuje implikovaná volatilita a pre ktorú z nich je implikovaná volatilita najvyššia.
Implikovaná volatilita pre put opcie: Pre aký interval cien put opcií existuje? Je v týchto prípadoch určená jednoznačne? Zrealizuje sa výpočet implikovanej volatility pre konkrétnu put opciu.
Delta pre put opcie: Vypočítame deltu put opcie a nakreslíme graf jej závislosti od aktuálnej ceny akcie pre rôzne expiračné ceny (napr. call opcia s E=30, put opcia s E=30, call opcia s E=60, put opcia s E=60).
V súbore msft.txt je vývoj cien akcie firmy MSFT a opcií na tieto akcie. Po zvolení dňa a načítaní dát o vývoji akcie počas tohto dňa a zvolenej opcie, je možné vypočítať implikovanú volatilitu pre každú minútu.
tags: #alo #vypocitame #delta #l